Rheologica Acta manuscript No.
(will be inserted by the editor)
A computational method to simulate mono- and
poly-disperse two-dimensional foams flowing in
obstructed channel
Thales Carl Lavoratti · Sascha Heitkam ·
Uwe Hampel · Gregory Lecrivain
Received: date / Accepted: date
Abstract A modified phase-field model is presented to numerically study the
dynamics of flowing foam in an obstructed channel. The bubbles are described
as smooth deformable fields interacting with one another through a repulsive
potential. A strength of the model lies in its ability to simulate foams with
wide range of gas fraction. The foam motion, composed of about hundred
two-dimensional gas elements, was analyzed for gas fractions ranging from 0.4
to 0.99, that is below and beyond the jamming transition. Simulations are
preformed near the quasi-static limit, indicating that the bubble rearrange-
ment in the obstructed channel is primarily driven by the soft collisions and
not by the hydrodynamics. Foam compression and relaxation upstream and
downstream of the obstacle are reproduced and qualitatively match previous
experimental and numerical observations. Striking dynamics, such as bubbles
T.C. Lavoratti
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, Institut f¨
ur Fluiddynamik, Bautzner Landstraße
400, 01328 Dresden, Germany
S. Heitkam
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, Institut f¨
ur Fluiddynamik, Bautzner Landstraße
400, 01328 Dresden, Germany
Technische Universit¨
at Dresden, Professur f¨
ur Transportprozesse an Grenzfl¨
achen, 01062
Dresden, Germany
U. Hampel
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, Institut f¨
ur Fluiddynamik, Bautzner Landstraße
400, 01328 Dresden, Germany
Technische Universit¨
at Dresden, Professur f¨
ur Bildgebende Messverfahren f¨
ur die Energie-
und Verfahrenstechnik, 01062 Dresden, German
G. Lecrivain
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, Institut f¨
ur Fluiddynamik, Bautzner Landstraße
400, 01328 Dresden, Germany
E-mail: g.lecrivain@hzdr.de
Tel.: +49 (0) 351 260 - 3768
Fax: +49 (0) 351 260 - 13768

2
Thales Carl Lavoratti et al.
being squeezed by their neighbors in negative flow direction, are also revealed
at intermediate gas fractions.
Keywords Flowing foam, computational method, phase-field method,
obstructed channel.
1 Introduction
The flow of foam and froth plays a major role in many industrial applica-
tions such as mineral recovery (Lecrivain et al. 2015), food processing (In-
drawati et al. 2008), fabric dyeing (Hussain and Wahab 2018), production of
light-weight materials (Masi et al. 2014) and insulation components (Konior-
czyk et al. 2017). Despite its industrial significance, many of the mechanisms,
such as soft collisions, governing the foam dynamics remain to be elucidated
(Cohen-Addad et al. 2013). One reason for this insufficient knowledge is that
most established flow measurement techniques are not directly applicable to
foam flow. Consequently, most experiments are conducted in two-dimensional
configurations employing optical observation (Chen et al. 2019). Novel mea-
surement techniques applied to foam, such as Ultrasound Doppler Velocime-
try (Nauber et al. 2018), Neutron Imaging (Heitkam et al. 2018), Positron
Emission Particle Tracking (Waters et al. 2008), Nuclear Magnetic Resonance
(Stevenson et al. 2010), or X-raying (Lappan et al. 2020) are not yet commonly
established and suffer from limitations.
Numerical simulations are a valid alternative to investigate flowing foams
in three-dimensional domains. Large advances in this field have been achieved
with the Surface Evolver (Brakke 1992), which discretizes the air-liquid inter-
faces of the foam with a triangle mesh. Under a bubble volume conservation
constraint, it then iteratively redistributes the triangle nodes to find the en-
ergy minima in terms of foam shape. Quasi-static dry foam motion around
a spherical obstacle was simulated (Cox et al. 2006). The authors derived
from two-dimensional simulations pressure fields, plastic events and drag and
lift forces acting on the obstacle. Two-dimensional wet foam shearing in unob-
structed channel was also simulated with the Surface Evolver (Jing et al. 2015).
Bubble displacements in the transverse shear direction and elastic–plastic de-
formation of the foam were analyzed. Further numerical methods can also be
found in the literature. The vertex model, where the dry foam is represented
by a set of polygons, has been used to study foam shearing (Kern et al. 2004;
Cantat 2011). In the latter work, two-dimensional simulations of foam shear-
ing in an unobstructed channel were performed. The authors investigated the
foam stress in the non-quasi static regime and found that the number of topo-
logical rearrangements, so-called T1 events, correlated with bubble elongation.
The two-dimensional soft-disk model has also been applied to simulate shear
foam flows (Durian 1995, 1997; Sexton et al. 2011). In this model, the disk-
like bubbles experience a repulsive spring force whenever an overlap occurs. In
the work of Sexton et al. (2011), two-dimensional simulations were performed

Title Suppressed Due to Excessive Length
3
for a relatively wide range of shear rates and two distinct regimes with qual-
itatively different bubble dynamics reported. Lattice Boltzmann simulations
Benzi et al. (2009); Dollet et al. (2015) have been performed to determine the
rate of plastic events in a Poiseuille foam flow. More recently, another approach
was adopted by K¨
ah¨
ar¨
a (2017), who discretized each two-dimensional bubble
into a series of segments subjected to surface tension, pressure gradient and
contact visco-elastic forces. In this work, two dimensional foam shearing was
also studied. These type of simulations can compute the structural response of
the foam, stress, strain and velocity distributions. However, these methods do
not behave properly for wide range of gas fraction within the foam. Thus, these
models are not applicable if bubbles are not in contact with one-another. This
typically occurs below the jamming point, which for randomly packed, poly-
disperse bubbles corresponds to gas fractions ε2D ≈ 0.85 (Katgert and van
Hecke 2010; Desmond et al. 2013) and ε3D = 0.64 (Cohen-Addad and H¨
ohler
2014; Heitkam and Fr¨
ohlich 2019) in two and three dimensions, respectively.
Close to the jamming point, Heitkam and Fr¨
ohlich (2019) carried out nu-
merical simulations of foam dynamics with the immersed-boundary method
(Mittal and Laccarino 2005; Uhlmann 2008; Schwarz et al. 2015). These sim-
ulations also solved the Navier-Stokes equation for the interstitial liquid flow
and thus, allowed to compute the formation of foam from rising bubbles. By
suggesting a bubbles collision model, Heitkam and Fr¨
ohlich (2019) also inves-
tigated the shearing of bubble clusters. These above simulations are however
restricted to spherical bubbles and, thus, loose validity if large bubble deforma-
tion occurs. To alleviate this, a modified phase-field model is here suggested
as a numerical alternative to the immersed-boundary method. This model
hence bridges the gap between the existing Surface-Evolver and the available
immersed-boundary methods. On the one hand, it deals with interacting bub-
bles subject to large deformations and, on the other hand, with the movement
of individual bubbles carried away in regions of low gas fraction. The method is
here applied to mono- and poly-disperse foam flowing in an obstructed chan-
nel at gas fractions below, near and above the jamming point. Phase-field
models constitute a class of efficient computational methods that allows one
to investigate three-dimensional foam dynamics. In the following, we restrict
however ourselves to two-dimensional systems and demonstrate the ability of
the method to handle collision-dominated cases. Three-dimensional systems
will be included in future works.
2 Methods
2.1 Foam model
The general idea behind the phase field modeling is to introduce a dimen-
sionless identification function, also called order parameter, that continuously
varies over a thin interfacial region. The sharp fluid interface between the gas
and liquid phases is hence smeared out with a thin but nonzero transitional

4
Thales Carl Lavoratti et al.
1
0 0
1
φ2
φ2
φ
φ17
φ17
15
φ15
φ13
φ13
φ14
φ12
φ14
φ12
φ16
φ16
φ6
φ6
φ9
φ11
φ
φ9
8
φ11
φ10
φ
φ
10
7
φ7
φ
φ3
φ5
φ
φ
1
φ1
3
5
φ4
φ4
φ0
φ0
φ2
φ
φ17
15
Fig. 1 Smoothly transitioning identification function arbitrarily shown for the 8-th bubble.
φ13
φ14
φ12
φ16
region. We refer the reader to the review article by Kim (2012) for further
φ6
information on the phase-field modeling of multi-component flows. The model
φ9
φ11
presently employed is a modified version of the phase field model by Nestler
et al. (2008) that has been used in the
φ
φ
10
field of biology, where cell-cell interac-
7
tions are key in understanding the migrating dynamics of cell colonies (Alert
φ
φ
φ
1
3
5
and Trepat 2020). Each bubble i is here associated with an identification func-
φ4
tion φi(x, t), where x = (x, y)> is the spacial coordinate and t the time. As
φ0
one moves from the bubble inner region to the outer region, φi undergoes a
smooth but rapid transition from unity to zero over the interfacial width ξ
(Borcia et al. 2017). Figure 1 describes a typical smoothly-transitioning iden-
tification function along the two coordinate axes crossing the bubble center of
mass. The equilibrium foam state was obtained in a square box with a periodic
boundary condition in the two spatial directions. Each bubble “sharp” inter-
face, shown in blue in the Figure, is hereafter defined by the isoline φi = 0.5.
To compute the dynamic foam flow, each identification function is updating
in time and space by solving
∂φi
1
+ u · ∇φ

i = −
fb + fr − ξ2∇2φi ,
(1)
∂t
τ
where u is a velocity field, τ a response time associated with the foam dynamics
and fb, respectively, fr the bulk and repulsive terms discussed below. The
advection term u · ∇φi on the left-hand side of Equation 1 transports the
foam, while the right-hand side term ensures an energetically stable foam
conformation. The bulk term, which ensures φi = 1 inside the bubble and zero
elsewhere, is given by
fb(φi) = 4φi (φi − φc) (φi − 1) .
(2)
The area of each two-dimensional bubble is maintained through the correction
φc = 1/2 + α( ˜
Ai/( ˜
Ai)0 − 1) (Nonomura 2012), where α > 0 is a growth

Title Suppressed Due to Excessive Length
5
rate, ˜
Ai(t) = R φ2dr the modified area at time t (Mueller et al. 2019), dr
i
an infinitesimally small area element and ( ˜
Ai)0 a constant value initially set.
This correction causes the bubble area to expand, respectively shrink, until
the condition ˜
Ai = ( ˜
Ai)0 is satisfied. The tilde is hereafter introduced to
distinguish between the modified area ˜
Ai and its standard counterpart Ai =
R φidr mostly used in the result section. The repulsive term in Equation 1,
which prevents bubble overlapping (Mueller et al. 2019), is given by
X
fr(φi, φj6=i) = βφi
φ2,
(3)
j
i6=j
where β > 0 controls the strength of the repulsion. The last term −ξ2∇2φi is
an interfacial contribution resulting in an energy excess across the smoothly
spreading interface (Lecrivain et al. 2020). A link between the tuning parame-
ter β and experiments involving foam films stabilized by surface active agents
(Andersson et al. 2010) can well be established. As the separating distance
h between two bubble surfaces diminishes, surface active agents adsorbed at
those interfaces rearrange resulting in the formation of thick adsorption lay-
ers (Peng et al. 2020). This surface interaction, expressed by the disjoining
pressure in experimental tests, becomes significant when the film thickness
drops below h < 100 nm (Stubenrauch and von Klitzing 2003). In a simi-
lar fashion, the parameter β controls the separating distance h, typically a
few mesh elements, over which two neighboring bubbles experience strong re-
pulsion. Linking the parameter α to any physical foam-associated quantity is
however difficult. The term α is a pure numerical parameter that turns the
Allen-Cahn Equation 1 into a conservative form (Aihara et al. 2019). It has
been shown that, for a single bubble, the term α can safely be removed by
using a Cahn-Hilliard formulation (Jeong and Kim 2017). This comes however
at a cost, that would be the arising complex biharmonic operator (∇4) in the
interfacial term.
To ease the implementation, the immersed wall is treated as an additional
immobile identification field φw(x), which can be regarded experimentally as
a free-slip hydrophilic wall boundary. That means, upon contact with the wall,
there is no friction and the two normal vectors nw = ∇φw and ni = ∇φi tend
to remain parallel. The general form of a smooth wall is given by a smooth
hyperbolic tangent profile defined as
1
1
 δ(x) 
φw(x) =

tanh √
.
(4)
2
2

where δ(x) is the field describing the shortest signed distance to the ideal
sharp wall interface, with positive values in the fluid region (Luo et al. 2009).
The choice for this wall representation is justified. In the simplified one-
dimensional scenario, Equation 4 happens to be the equilibrium solution of
4φw(φw − 1/2)(φw − 1) = ξ2(∂2φw/∂x2), which corresponds to a free energy
minima (Shinto 2012), hence the coefficient 4 preceding the bulk term in Equa-
tion 2. The advection and Laplacian terms in Equation 1 are discretized in

6
Thales Carl Lavoratti et al.
space using a second-order finite difference and a compact fourth-order scheme,
respectively. These two terms are integrated in time using an explicit first-order
Euler and an implicit second-order Crank-Nicolson method, resulting in the
following algebraic system

δtξ2

δt
δt
 δtξ2

1 −
∇2
φt+δt = (uδt) · ∇φt −
fb(φt) −
fr(φt, φt
) +
∇2
φt,

i
i
τ
i
τ
i
j6=i

i
(5)
where φt is the i-th identification field known at the beginning of each time
i
step, φt+δt the field to be found and δt the time step.
i
The present model takes ingredients from the Lattice Boltzmann Method
originally suggested by Benzi et al. (2009) for foam simulations running on
Graphics-Processing-Units. The dynamics of the system are, here too, driven
by the minimization of a free energy. The above transport model is imple-
mented using the Portable Extensible Toolkit for Scientific Computation, a
widely used open-source library for the scalable solution of partial differen-
tial equations (Balay et al. 2019). Parallel simulations with Message-Passing-
Interface are presented in the following. With a two-dimensional flow domain
discretized into about 40,000 nodes, about 100 gas bubbles and a 16-Central-
Processing-Unit core available on most high performance computing centers,
up to a month is the typical time needed for a complete dynamic simulation.
Despite the excellent performance of the code, the number of gas bubbles
(Nb) does set a limit on the computational gain. Solving the transport Equa-
tion 1 Nb times at each iteration is simply prohibitive. Compared to other
foam simulation tools cited in the introduction, the present method has one
major advantage. It is namely the capability to consider bubbly flow, wet and
even dry foams coexisting in one single simulation. This allows to investigate
in particular the flowing behavior of wet foam near and across the jamming
limit.
2.2 Set-up
A periodic channel with height H and length L = 1.714H is obstructed by
two semi-disks with radii R = 0.193H. A schematic of the channel and its
coordinate system is given in Figure 2a. The channel is filled with Nb = 96
bubbles with specific size distributions and pre-defined gas fractions ε. To
achieve the initial equilibrium states, from which the dynamic simulations
can start, several workflow steps are required. As illustrated in Figure 2a, the
identification functions φi are first initialized to squares of equal sizes arranged
in a chessboard-like structure with ε ≈ 0.5. At this stage, the exact value ε
is not critical. The desired gas fraction is achieved by prescribing the initial
areas ( ˜
Ai)0 to each individual bubble. These are randomly sampled using a
standard uniform distribution, whose arithmetic mean ¯
A results from
N ¯
bA
ε =
.
(6)
HL − πR2

Title Suppressed Due to Excessive Length
7
y
H/2
0
-H/2
x
-L/2
-R
L/2
Fig. 2 Workflow used to create the foam: (a) initial chess-board like foam structure, (b)
bubbles grow, respectively, shrink until they reach their prescribed areas, (c) bubbles ex-
pand mostly vertically to occupy empty spaces, (d) bubbles rearrange into an energetically
favorable state.
Mono-disperse
Poly-disperse
¯
d/H
σ/H
ε
¯
d/H
σ/H
ε
0.087
< 10−3
0.354
0.086
0.013
0.360
0.096
< 10−3
0.437
0.096
0.014
0.444
0.105
< 10−3
0.518
0.105
0.016
0.527
0.113
< 10−3
0.599
0.112
0.016
0.609
0.120
< 10−3
0.679
0.120
0.018
0.690
0.127
< 10−3
0.756
0.126
0.019
0.768
0.132
< 10−3
0.829
0.132
0.019
0.839
0.137
< 10−3
0.888
0.137
0.020
0.900
0.141
< 10−3
0.936
0.140
0.021
0.945
0.145
< 10−3
0.999
0.144
0.021
0.999
Table 1 Bubble size distribution with ¯
d and σ being the respective mean equivalent diam-
eter and standard deviation.
Equation 1 is then numerically solved with u = 0. Throughout this preliminary
relaxation, the bubbles grow, respectively shrink in size. After being squeezing
in the vertical channel direction to occupy the empty spaces (Figure 2b-c),
the poly-disperse bubbles eventually become spherical and rearrange into an
energetically favorable state (Figure 2d). The convergence is here achieved
when P |φi(t + δt) − φi(t)| < , with  being an arbitrarily small value. In
the presented simulations, it is set to  = 0.1. A smaller value did not lead
to convergence, because the bubble area is never constant but oscillates with
a very small amplitude over time. All mono- and poly-disperse equilibrium
states are obtained by restarting the state in Figure (2d) with appropriate
areas ˜
Ai. Table 1 lists the arithmetic mean of the equivalent diameter ¯
d and the
corresponding standard deviation σ for each mono-disperse and poly-disperse
configuration. Note, that the standard deviation does not equal zero in the
mono-disperse cases, because the area Ai of a bubble never reaches the preset
area ( ˜
Ai)0 perfectly. The equivalent diameter is given in a two-dimensional
system by
 4A 1/2
i
di =
,
(7)
π
with Ai = R φidr. In the resulting equilibrium foam states illustrated in Fig-
ure 3, different foam structures are well distinguishable. Away from the obsta-
cle, a hexagonal close-packed two-dimensional crystalline structure is observed

8
Thales Carl Lavoratti et al.
Fig. 3 Selected equilibrium foam states considered in this study. The upper and lower rows
illustrate the mono- and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas fraction.
for the mono-disperse foam. As expected for the hexagonal pattern, each bub-
ble is in contact with exactly six neighbors. With vanishing liquid fraction,
Plateau borders eventually form (Forel et al. 2019). In the limiting case ε → 1,
the bubbles take polygonal shapes, in-line with previous experimental obser-
vations (Cantat et al. 2013; Jones et al. 2013). With the obtained equilibrium
states as initial foam structures, the dynamic simulations are performed. To
this end, the foam is advanced in time using a constant horizontal velocity ux.
The advective term in Equation 1 is hence set as
 (1 − φ

u(x) =
w ) ux
.
(8)
0
The periodicity makes it difficult to drive the foam flow with a realis-
tic pressure gradient. Numerical workarounds with the Surface Evolver have
been suggested in the past. See for instance References (Raufaste et al. 2007;
Boulogne and Cox 2011), where the foam is transported by small and targeted
bubble area increments at each iteration. A constant flow rate could also here
be achieved by setting a velocity field u that changes in time and probably
space. Enforcing this is however difficult, especially at high gas fractions. We
here decide to drive the flow by shifting all bubbles with a small incremental
distance (uxδt) over the duration of one time step (δt). This is here achieved
by prescribing the constant advection velocity ux in Equation 8. The velocity
ux is our attempt to reproduce the quasi-two-dimensional experimental system
in References (Dollet and Graner 2007; Dollet et al. 2015). In such systems,
a horizontal mono-layer bed of bubbles is confined between either a column
of water and an upper plate or between two plates. Experimentally, the foam
velocity is set at the inlet by imposing a constant flow rate. In reality, the
Eulerian velocity u should vary in space. That is however not the case in the
presented simulations. In the channel minima for example, that is at x = 0,
u should increase because of mass conservation and at the wall, it should
be zero. A constant ux might rather be reminiscent of the flotation process
(Lecrivain et al. 2015), where swarms of gas bubbles rise in a liquid tank with
a constant terminal velocity because of buoyancy. Nonetheless, this first work
is an alternative and promising method for future foam simulations. Extension

Title Suppressed Due to Excessive Length
9
of this foam model to account for better flow conditions is currently on-going
(Lecrivain et al. 2018), yet it requires additional efforts for gas fractions ap-
proaching unity, such as a dynamic mesh refinement algorithm to compute the
liquid velocity in the interstitial spaces.
3 Results
Equation 1 is implemented in its non-dimensional form using the Peclet num-
ber given by P e = τ ux/∆, where ux is the constant advection velocity present
in Equation 8 and ∆ the size of one two-dimensional grid element. The Peclet
number relates the convective to the diffuse transport. The limiting case
P e → 0 corresponds to the scenario, in which the foam reaches an equilibrium
in terms of minimum elastic energy at each time step. With a Peclet num-
ber set to P e = 0.01 in all presented simulations, the foam flow approaches
the quasi-static limit, indicating that the bubble rearrangement is primarily
driven by the soft collisions and not by the hydrodynamics, in turn warranting
the absence of a Navier-Stokes solver at this stage. Besides, foams in flotation
and fundamental experiments are performed well beyond the critical micelle
concentration to ensure fully covered interfaces and stable lamellas. Thus inter-
facial rheology and Marangoni stress might be neglected in this first attempt.
The results are analyzed over one flow-through time, defined as T = L/ux,
starting after a transient time period, that is 0.5 < t/T < 1.5. The growth
rate and the repulsion parameter are respectively set to α = 1 and β = 1.
Unless otherwise specified, the interfacial width equates the size of one grid
element, that is ξ = ∆. The time step δt is calculated from the Courant
number here set to Co = (uxδt)/∆ = 10−4. The entire channel is discretized
into 240×150 nodes in the axial and transverse flow directions, resulting in a
grid-independent solution (See Appendix A).
3.1 Bubble trajectories and foam velocity
Using a periodicity correction (Bai and Breen 2008), the position of each center
of mass is first calculated as Xi = [Xi, Yi]> = R φidr/ R dr. Figure 4 shows the
bubble trajectories Xi(t) for selected simulated cases. At very low gas fraction
(ε = 0.44), the bubbles tend to remain in the channel core. With increasing
gas fraction, the foam expands vertically to gradually fill the stagnant lower
and upper cavity zones between the obstacles. At gas fraction ε ≈ 0.7, the
stagnant zone persists only downstream of the obstacles, in-line with previous
observations (Deshpande and Barigou 2001). At same gas fraction, the bub-
ble paths in the channel center do not seem to exhibit any ordered patterns.
Crossing bubble trajectories are frequent and even more frequent in and fur-
ther downstream of the channel minima, that is at position x/L = 0 where
the vertical distance between the two obstacles is the shortest (See Figure 2a).
Such a chaotic behavior is reminiscent of two-dimensional gas bubbles rising


10
Thales Carl Lavoratti et al.
Fig. 4 Sample of bubble trajectories X(t), calculated at the bubble center of mass. The
upper and lower rows illustrate the mono- and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas
fraction.
Fig. 5 Instantaneous foam states arbitrarily taken from the dynamic simulations. The black
arrows located at the bubbles’ centers represent the velocity vectors. The upper and lower
rows illustrate the mono- and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas fraction.
at low-Reynolds number (Esmaeeli and Tryggvason 1996). With increasing gas
fraction (ε ≈ 0.84 and ε = 0.99), stagnant zones vanish and the bubbles even-
tually travel along relatively well-ordered non-intersecting paths, suggesting
a ”laminar” foam flow away from the obstacle (van der Net et al. 2009). In
the channel minima, crossing trajectories occur irrespective of the gas frac-
tion. The instantaneous bubble velocity is conveniently calculated from the
bubble path as Vi(t) = (Vx, Vy)> = dX
i
i/dt. Figure 5 shows an instantaneous
snapshot of the flowing foam overlaid with the velocity vector placed at each
bubble center of mass. An animation can be found in the supplementary ma-
terial. Figure 5 suggests an accelerating foam flow in the channel minima for
high gas fractions. For comparison purposes, the time-averaged foam velocity
field has been compared to that obtained with the potential flow theory. Given
an incompressible and invicid single-phase fluid flowing over a infinite cylinder
(Acheson 1990; Fang 2019), the laminar velocity is given in the polar system
(er,eθ) by
h
u
2 i
r (r, θ)/ux =
1 − R
cos(θ),
r
(9)
h
u
2 i
θ (r, θ)/ux = −
1 + R
sin(θ),
r
where r is the distance from the obstacle center and θ the polar angle. In
the potential flow theory, the boundary condition for the velocity is set to

Title Suppressed Due to Excessive Length
11
Fig. 6 Foam velocity vectors (black) overlaid with those obtained with the potential flow
theory (orange). The upper and lower rows illustrate the mono- and poly-disperse foams,
respectively. ε is the gas fraction.
ur(R, θ) = 0. To calculate an average foam velocity at any given point x, the
velocity of all bubbles moving in the vicinity of that point, that is |Xi − x| < `
with ` being an arbitrary distance of some bubble diameters, is averaged in
time. Figure 6 shows the comparison between the time-average foam velocity
field with that obtained with the potential flow theory. The simulated foam
velocity field somewhat agrees with the potential flow theory. The flow direc-
tions are similar both in the near-obstacle and the core channel regions. Near
the obstacle, the foam flows in the tangential direction eθ, while in the core
region, the foam flows in the channel streamwise direction. Differences to the
potential flow are indeed excepted and results from the viscoelastic nature
of the foam. These have been extensively discussed in previous experimental
(Raufaste et al. 2007; Dollet and Graner 2007; Marmottant et al. 2008) and
numerical investigations with the Surface Evolver (Cox et al. 2006). Figure 6
also shows, that with increasing gas fraction, the velocity generally decreases in
magnitude. This is attributed to the increasing number of soft collisions, lead-
ing to kinetic energy dissipation. The model hence reflects well the pressure
loss increasing with the overall gas fraction (Deshpande and Barigou 2000). A
comparison to experimental data (Dollet and Graner 2007) in the vicinity of
the spherical obstacle is provided in Appendix B.
To further assess the effect of the soft collisions, the mean foam velocity
¯
Vx is plotted against the gas fraction in Figure 7. To calculate ¯
Vx, we average
the velocities Vx of the bubbles, for which the center of mass is located near
the periodic boundary, that is L/2 − λ < ∀Xi < L/2 + λ, with λ being an
arbitrarily small distance, typically in the order of some grid elements. Below
ε ≤ 0.5, the mean foam velocity equates the prescribed advection velocity ux.
This is expected because of the very few collisions. With higher gas fractions,
the mean foam velocity decreases linearly as ¯
Vx/ux = −0.79ε, as illustrated
by the straight line fitted with the least-squares method. One may also note
that the normalized bubble velocity (Vx)i/ux fluctuates by about ±0.05. This
occurs because the post-processed center of mass X(t) does not smoothly
evolves with time due to the collisions.
The time-average velocity along the channel center line Vc(x) provides fur-
ther insight into the foam flow. For comparison purposes, we perform addi-

12
Thales Carl Lavoratti et al.
1.0
0.9
0.8
x
/u¯ 0.7
V x
0.6
Mono-disperse foam
Poly-disperse foam
0.5
Standard deviation
Linear fit ( ¯
Vx/ux 0.79ε)
0.40.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Gas fraction (ε)
Fig. 7 Decrease of the mean foam velocity ¯
Vx with increasing gas fraction ε. The foam
velocity is normalized with the prescribed advection velocity ux. The linear curve is fitted
to both mono- and poly-disperse data points.
tional flow simulations with the open-source flow solver OpenFOAM (Weller
et al. 1998), hereafter termed Computational Fluid Dynamics (CFD) simu-
lations. The available power-law model is used (Greenshields 2020) because
of its relatively good accuracy in predicting foam flows in pipes (Rooki et al.
2015). This rheological model relates the apparent kinematic viscosity of the
foam (ν) to the strain rate ( ˙γ) as ν = k ˙γn−1 for νmin ≤ ν ≤ νmax, where
k is the consistency coefficient and n the power-law index. We set the fol-
lowing properties to the foam, namely k = 0.001 m2sn−2, n = 0.8 (Rooki
et al. 2015), νmin = 10−6 m2/s (magnitude order for water) and νmax = 10−5
m2/s (magnitude order for air). Fine changes in the minimum and maximum
values of the viscosity did not show any significant differences in the result-
ing velocity field. On each wall a slip boundary condition in imposed, in-line
with the present implementation. Equation 9 along with the numerical so-
lutions obtained with two OpenFOAM solvers, namely ”potentialFoam” and
”nonNewtonianIcoFoam” are shown in Figure 8. At low gas fraction, that is
ε < 0.52, the streamwise profile is significantly different to that obtained with
the CFD simulations. The velocity Vc(x) first decreases until it reaches the
position x ≈ 0.35L to then follow a bell-shaped curve peaking downstream of
the channel minima at about x ≈ R/L. The results obtained at low gas frac-
tion should however be interpreted with caution, because the hydrodynamics
associated with the viscous and inertial effects of the interstitial liquid are
here left out. At intermediate gas fraction, that is ε ≥ 0.68, the streamwise
velocity qualitatively matches that obtained with the power-law model. The
velocity peaks at the channel minima, that is at position x/L = 0. Besides,
the peak magnitude generally increases with the gas fraction. An important
message emerging from Figure 8 is that, with the exception of ε ≈ 0.84, the
poly-dispersity has a minor effect on the foam flow. Near this intermediate gas

Title Suppressed Due to Excessive Length
13
Equation (3.1)
ε = 0.52
Equation (3.1)
ε = 0.53
PotentialFoam
ε = 0.68
PotentialFoam
ε = 0.69
NonNewtonianIcoFoam
ε = 0.83
NonNewtonianIcoFoam
ε = 0.84
ε = 0.44
ε = 0.99
ε = 0.44
ε = 0.99
1.8
1.8
Mono-disperse
Poly-disperse
1.6
1.6


- 2
L
2
1.4
- 1.4
c
c
)/V
)/V
(1.2
(1.2
V c
V c
1.0
1.0
0.8
0.8
-0.5
-0.3 -R/L
R/L
0.3
0.5
-0.5
-0.3 -R/L
R/L
0.3
0.5
x/L
x/L
Fig. 8 Foam velocity profile Vc(x) computed at the channel center line. For improved com-
parison between the different gas fractions, the streamwise velocity profiles are normalized
with the foam velocity Vc(x = -L/2) determined at the periodic boundary.
Fig. 9 Successive snapshots illustrating a single gas bubble being squeezed in the opposite
flow direction (ε = 0.83). The orange dots represent the trajectory, plotted at regular time
interval, of the bubble centre of mass.
fraction, that is ε = 0.84 for the mono-disperse foam, the streamwise velocity
curve Vc(x) exhibits a relatively wide double-peak across the obstacle length.
Such a double peak is not seen in the corresponding poly-disperse scenario.
The bubble rearrangement near the obstacle is complex and can not be
precisely analyzed with only time-averaged data. Figure 9 shows for instance
a bubble being squeezed in the backward flow direction. The bubble ejection
mechanisms are solely attributed to the soft collisions occurring at intermedi-
ate gas fraction.
3.2 T1 events
The plastic behavior of foams is caused by irreversible topological rearrange-
ments, known as T1 events. According to Cantat et al. (2013), a T1 event


14
Thales Carl Lavoratti et al.
24
18
12 ccurrenceo
6
T1
monodisperse
polydisperse
0
Fig. 10 Number of T1 events manually detected in the driest configurations by stepping
one frame at a time through the image sequence.
occurs when four Plateau borders meet at one node. The configuration be-
comes unstable and leads to a spontaneous bubble rearrangement reducing
the surface energy of the system. We visually searched in the image sequence
of the driest configurations (ε = 0.99) for the locations and times, at which T1
events occurred (Dennin 2004). The results are depicted in the Figure 10 for
the mono- and poly-disperse foams. In both cases, the frequency of T1 events
increase near the obstacles, with a further increased occurrence in the upstream
region. This finding matches those previously reported in previous numerical
(Cox et al. 2006) and experimental studies (Dollet and Graner 2007; Jing et al.
2015). In terms of T1 events, the effect of poly-dispersity is here noticeable.
On the one hand, T1 events observed in the flowing mono-disperse foam occur
mostly at constant locations. This is because the same-sized bubbles tend to
follow somewhat organized trajectories with only few crossing paths. On the
other hand, small bubbles evolving in the poly-disperse foam are more likely
to cross trajectories (See Figure 4). This in-turn introduces sporadicity as well
as a wider spacial distribution of the topological changes near the obstacles.
A total of 241 and 285 T1 events are here reported for the mono- and poly-
disperse scenarios, respectively. This converts to a 18% increase in the number
of T1 events occurring as a result of foam poly-dispersity.
The obstacle can be regarded as an artificial wall roughness. Consequently,
the bubbles at the wall would remain immobile while those near the channel
centerline would move faster. However, as can be seen in Figures 6-7, this did
not occur. We had hoped to observe an accumulation of T1 events along some
horizontal lines. The spatial distribution of the T1 events does however not
point to any shear localization or shear banding (Divoux et al. 2016). Figure 10
shows that the T1 events occur mostly up- and downstream of the obstacle, not
supporting the prediction of shear banding. Three-dimensional simulations and
an appropriate subgrid wall boundary condition would probably be necessary
to further investigate shear banding.
3.3 Gas pressure
A strength of the phase-field model is its ability to conveniently calculate a
surface tension force Fi(x, t) that is nonzero across the diffuse bubble interface

Title Suppressed Due to Excessive Length
15
and from which a pressure field pi(x, t) is derived. The surface tension force,
made here non-dimensional with the interfacial width ξ and the surface tension
γ, is calculated as (Kim 2007; Jeong and Kim 2017)

(


F
∇φi
i(x)
−3 2∇ ·
|∇φi| ∇φi
if |ni| > ,
=
|∇φi|
(10)
γξ
0
otherwise,
where ni = ∇φi is the vector normal to the smooth bubble boundary, κi = ∇ ·
(ni/|ni|) the local curvature and  an arbitrarily small value. An advantage of
the above formulation is that the field Fi is solely function of the identification
function φi. In the quasi-static limit, as is the case here because of the low
Peclet number, it is fair to assume, that the pressure gradient cancels out the
surface tension force as
∇pi = Fi.
(11)
By applying the divergence operator on each side of Equation 11, that is
∇2pi = ∇ · Fi, a pressure field for each bubble is determined. Equation 10
is here validated against the solution of the Young-Laplace equation. For an
infinite cylinder, the theoretical pressure difference is given by |pin − pout| =
γ/r (Kim 2005; Joshi and Jaiman 2018), where r = d/2 and pin and pout
are the pressures inside and outside the bubble, respectively. In Figure 11, a
set of equilibrium solutions are compared to their theoretical counterparts for
increasing bubble diameter d. With an interfacial width set to ξ = 2∆ and a
minimum of 15 grid points descritizing the bubble diameter, the results are in
excellent agreement with the theory. In all other simulations, the interfacial
width is set to ξ = ∆. With such, relatively good results are still achieved. The
blue curve is best-fit and is hereafter used as the reference pressure p0, so that
for an uncompressed disk-like bubble, the normalized pressure pi/p0 equates
unity in the gas and zero outside.
To calculate an instantaneous pressure
field p(x, t), we proceed as follows. The algebraic system given by Equation
11 is first solved using a Newton-like nonlinear solver (Balay et al. 2019) for
each bubble, that is Nb times. All bubble-associated pressure fields are then
summed as p = P pi. The resulting overlay is shown in Figure 12. At low
gas fraction, that is here ε = 0.44, the pressure inside each bubble equates
the reference pressure p0. With increasing gas fraction, that is here ε = 0.68,
the pressure equates unity mostly downstream of the obstacle where expansion
occurs. In that channel area, the bubbles have few, if any, neighbors and hence
remain spherical. Right upstream of the obstacles, the pressure increases by 10
to 20 %. At intermediate gas fraction, that is ε = 0.83, the pressure inside the
bubble equates 1.2p0 and increases up to 1.5p0 upstream of the obstacle. For
the last scenario, that is ε = 0.99, the gas pressure increases even more and
its distribution inside each gas bubble is highly heterogeneous. The pressure
contours in Figure 12 do not reveal any noticeable differences between the
mono- and poly-disperse scenarios. Even though the simulations approach here
the quasi-static limit, the surface tension force in Equation 10 could be used
as source term in the Navier–Stokes momentum equation.



16
Thales Carl Lavoratti et al.
0.20
Theory
ξ/∆ = 1
0.17
ξ/∆ = 2
0.14
∆)
|/(γ
|F 
0.11
0.08
0.055
10
15
20
25
30
35
d/
Fig. 11 Pressure difference as a function of the bubble diameter for a single bubble in
equilibrium. The abscissa and ordinate are normalized with the surface tension γ and the
size of a mesh element ∆. The theoretical black line corresponds to the solution of the
Young-Laplace equation.
Fig. 12 Instantaneous snapshot the gas pressure overlay p = P pi calculated for each
bubble. For an uncompressed spherical bubble p/p0 = 1. The upper and lower rows illustrate
the mono- and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas fraction.
3.4 Compression dynamics
Compression refers here to the local change in liquid fraction. The volume
of each bubble is conserved by the correction term in Equation 1. The foam
dynamics can be further studied using the bubble circularity, which indicates
not only the degree of deviation from a perfect disk, but is also a measure
of the local shear stress within the foam (Graner et al. 2008). A number of
indices have been proposed to measure the circularity of an object (Blott and
Pye 2008). We here use the area-based parameter originally defined in two



Title Suppressed Due to Excessive Length
17
1.0
0.95
0.9
0.85
0.8
Circularity (c)
Fig. 13 Instantaneous snapshot of foam colored by circularity. The upper and lower rows
illustrate the mono- and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas fraction.
1.0
0.95
0.9
0.85
0.8
Circularity (c)
Fig. 14 Time-averaged foam circularity. The upper and lower rows illustrate the mono-
and poly-disperse foams, respectively. ε is the gas fraction.
dimensions by Cox (1927) as
 πd 2
i
ci(t) =
,
(12)
Pi
where Pi is the perimeter of the i-th bubble. At low gas fraction and away from
the obstacle, the circularity should equate unity because bubbles are circular in
shape. The circularity of squeezed bubbles will however vary between zero and
unity. Figure 13 shows a snapshot of the foam colored by circularity and Fig-
ure 14 the corresponding time-averaged field. As expected, the circularity is
mostly c = 1 away from the obstacle at low (ε = 0.44 and 0.68) and intermedi-
ate gas fractions (ε = 0.83). In these three scenarios, the bubble deformation
occurs mostly upstream of the obstacle. At higher fractions (ε = 0.99), the
circularity decreases in the entire domain because of the hexagonal shape of
the bubbles. A pronounced decrease in circularity is also observed at higher
fraction near the obstacle. In this area, the hexagons elongate in the flow direc-
tion in-line with previous simulations in obstructed channels with the Surface
Evolver (Cox 2015).

18
Thales Carl Lavoratti et al.
4 4 4
3
3
5
4
0
1 2 2 3 2 2
0 0 0
4 3 3 3 2
0 0 2 3 4
4
3
2
0
5
4
6 5 6
6
7
0
0 0 0
0
0
0
1
2 3
0
2
0
6 6 5 4 3 3
2 1 3 4 4
6 6 7
0
0
0 0
4 2
5
0 0 0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
4 3
4
5
0
7
0
0
0
0
6 6 6 4 2
4 3 4 4
6
6 6
6 6
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
2 3
5
6
5 6 6 6
0
0
0
0 0 0
4
4
6
0
2
5
6
0 0
0
0 0 0 0 2 2
1
0
5 6 6 6 6 4
4 4 4 4 4
6 6 6 6
7 6 6
6 6
6 5
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
0
0
5 4
0 0
0 0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
3 2
0
0
0
1
0
0
6 6 6 6 5
6 3 5 6
6 6 6 6 6 6
6 7 6 6 6 6 6
0
0
0
0 0
4
0 0
0
0
3
0
0
0
3
4
6
0
1
6
6
6
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
5 6 6 6 6 5
3
5 4 4 4
6 6 6 6
5
5 5 6 6 6
0 0
0
0 0 0
0 0
0
2
0
0 0
3
6
0 0
0 0
0
1
1
0
0
0 1 2 2 2 3
0 0
0
6 5 6 5 5 3
2
7 6 4
5 6
5
6
0 0
3
5 6
6
6
6 6 6
0 0 0 0
1
4
5
1
0
0
4 3 4 3 3 2
2 3 4 4
5 4 4 3 4
3
4 5
4
3
3
3
0
1 2 3 2 3 2
0
3 3 4 3 4 2
2 1 2 2
4 5
4 3
5
5
0
0
0
0
4
6
0
2
5 5
5
3
3 6
5
6
4
5
0 0
0 0 0
0
0
2 3
5
5
3
4
6
0
0 0 0 0 0
0
0
2
0 0
0
0
3
5
6
0
0
4
7
4 4
6 6
0
1
5
7
0
0
0
0
0
0
0
0 0 1 4 3
0 0
6
5
4
3
6
4
7 7
5
6
6 7
0
0
0
0
0 0 0 0
0
0
0 0
0
0 0
5 5
5
4
3
4 5
4 4
5
6
6 6 6
6
0 0
1
4
6
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 0 0
6
0
0 0 0 0
4
6
5
3
6
5
3 5
5 6 5
7 6 6 6
5
0
5
5
4
6
6
6
0 0 0 0 0
0 0
0
0 2 1
0
0
0 0 0 0
0 0 0
2 2
4
5
4 4
5
6
6
0
1
0 0 0
6 5
3
6 7
7 6
6 8 5 6
1
0
2
6
4
5 5
5
6
6 5
0 0 0
0
0 0 0
3
6 4
6 6
1 4
4
6
0
0 0 0
0 0 00
0
0 0
0
0
0
1
0
6
3 2
0
0
0 0 0
5 6
6
6 6 7
5
5
6 7
0
0
0 1
0 0
0
0
0
0
2 0
0
4
5
5
7
0
0
0 3
5
0 0
1
0
4 5
5 3 3
4 3 6
5
5 6 5
5
0
0
0
4 5
5
6 6 5
5 7 5 6 6
1 1 2 2 33 2
0
0 0
4 4 3 3 4 2
1 2 2 2 3
4 4 5 4 3
3
5
4 4
Fig. 15 Neighbor-detection. Each blue marker indicates that the shortest separation dis-
tance falls below the grid size ∆. The integer inside each bubble refers to the number of
neighbors N . The upper and lower rows illustrate the mono- and poly-disperse foams, re-
spectively. The term ε is the gas fraction
An additional measure of foam disorder is the number of neighbors each
bubble has. In the spirit of the phase-field model, a natural way to compute
the number of neighbors is to look at the value φiφj|i6=j > 0 from the smooth
bubble contours (Mueller et al. 2019). Our tests showed however, that this
neighbor detecting method does not work well at intermediate gas fraction be-
cause the shortest separation distance between two bubble contours is typically
in the order 1 to 2 ∆. For these reasons, the shortest distance was calculated
directly from the sharp bubble surface defined by the isoline φ = 0.5. Figure
15 shows results of the neighbor-detecting algorithm. A slight overlap between
the isolines only occurs at gas fractions approaching unity, that is ε → 1. In
such cases, the overlap did not exceed one grid size ∆. In the following, a
bubble contact is counted whenever the shortest distance between two isolines
is lower than one grid size element. As seen in Figure 15, at low gas fraction
(ε = 0.44 and 0.68) the bubbles have no neighbors, which coincides with a gas
pressure p = p0 and a circularity c = 1 worked out earlier in Figures 12 and 13,
respectively. Since the gas fraction is below the jamming point, the bubbles are
not in permanent contact with one another. At high gas fraction (ε = 0.99),
each bubble of the mono-disperse foam has exactly 6 neighbors in the channel
core, corresponding the crystalline structure. Figure 16, which illustrates the
time-averaged number of neighbors along the axial direction x, reveals striking
features for each gas fraction. At low and intermediate gas fractions, that is
below ε < 0.8 (blue curves), the foam turns into a compact state upstream
of the obstacle to then relax across the channel minima (−R < x/L < R).
At high gas fraction, that is ε > 0.9 (green curves), the foam exhibits in the
entire channel a highly ordered state with nearly six neighbors throughout,
corresponding to the hexagonal packing. However, downstream of the obstacle
the packing is disturbed and diverges from its hexagonal structure. Striking,
yet different features are observed for the in-between gas fraction (ε = 0.84,
orange curve). The foam is in a compact state away from the obstacle and
relaxes to some extent as it moves through the channel minima. Foam poly-
dispersity only a has minor effect in terms of average neighbor numbers, when
compared to the reference mono-disperse case.

Title Suppressed Due to Excessive Length
19
 = 0.44
 = 0.68
 = 0.89
 = 0.44
 = 0.69
 = 0.90
 = 0.52
 = 0.76
 = 0.94
 = 0.53
 = 0.77
 = 0.95
 = 0.60
 = 0.83
 = 0.99
 = 0.61
 = 0.84
 = 0.99
6
6
5
5
4
4
N
N
3
3
2
2
1
1
Mono-disperse
Poly-disperse
0
0
-0.5
-0.3 -R/L
R/L
0.3
0.5
-0.5
-0.3 -R/L
R/L
0.3
0.5
x/L
x/L
Fig. 16 Time-averaged number of bubble neighbors (N ) in the axial direction (Solid line:
mono-disperse foam, dashed line: poly-disperse foam.)
4 Conclusions
A modified phase-field method has been successfully introduced for the simu-
lation of flowing mono- and poly-disperse foams. In this method each bubble
is described with a smooth transitioning identification function φi. This en-
ables investigation of a wide variety of scenarios, ranging from the strong
deformation of highly packed bubbles down to loosely packed and even in-
dividual bubbles. The transition between both states, such as the formation
of dry foam from rising bubbles could also well be covered with the present
model. This is a rather difficult task to overcome with other currently avail-
able numerical methods. The model was applied to investigate the compression
and relaxation dynamics of foam as it passes through a channel with confine-
ment. Many of the properties observed experimentally were reproduced. Foam
states ranging from low (ε = 0.44), intermediate (ε = 0.84) to high gas frac-
tions (ε = 0.99) matched the previously reported kinetics of two-dimensional
foam flowing around a cylindrical obstacle. The model does however have some
limitations. A disadvantage of the model is, that surface tension, interfacial
rheology (for instance sorption of surface active agents) and interaction forces
between neighboring bubbles do not appear explicitly in the formulation. In-
stead, they have to be accounted for by the repulsive parameter β in Equation
3.
The next step will include the coupling with a Navier-Stokes solver. In the
present case, the lamellas between the bubbles require special treatment, be-
cause the film lamellas in realistic foam are too thin to be spatially resolved.
Alternatively, a subgrid model for the tangential stress between sliding bubbles

20
Thales Carl Lavoratti et al.
could be incorporated. Also foam coarsening by gas diffusion could be imple-
mented by adding a source term to account for the gas transfer based across
the overlapping area formed by two adjacent identification functions φi and
φj and by changing the growth rates αi and αj accordingly. Future work will
also include an extension to three-dimensional simulations. This can be easily
achieved with the phase-field model, because in contrast to other methods,
e.g. Volume-of-Fluid methods, the transport equation for the scalar identifica-
tion functions do not differ substantially between two and three dimensions.
With a fully applicable phase-field model, the rheology of wet foam near and
across the jamming point could well be approached to extend the experimental
findings of other authors (Herzhaft et al. 2005; Heitkam and Fr¨
ohlich 2019).
Also, the reversibility and the relaxation dynamics of foam deformation close
to the jamming point could be further investigated and compared to space
experiments (Langevin 2017).
The code implementation together with selected raw data have been made
available (Lecrivain 2020).
Appendix A: Grid dependency test
A grid dependency test is here presented. Five Cartesian grids discretizing
the channel into Nx = 112, 144, 176, 208, 240 and Ny = 70, 90, 110, 130,
150 nodes are considered, where Nx and Ny are the number of nodes in the
axial and transverse directions of the channel flow. In all simulations, the
ratio of the sharp bubble diameter to the channel height is kept constant and
corresponds to the mono-disperse scenario ε = 0.68 illustrated in Figure 5,
that is ¯
d/H = 0.12. The interfacial width is set to the size of one grid element,
that is ξ = ∆ and is the only nonconstant value. The time-average velocity
along the channel center line Vc(x) is determined for the fives grids. As seen
in Figure 17, all simulations deliver similar velocity profiles. In this work,
simulation data obtained with the finest grid, that is Nx = 150 and Ny = 240,
are discussed.
Appendix B: Comparison to reference literature data
We compare the time-averaged velocity field of the driest mono-disperse foam
to experimental data. In the original experiment (Dollet and Graner 2007),
a mono-layer bed of bubbles is confined between a lower liquid pool and an
upper transparent wall. A cylinder is placed in the channel center and the bub-
bles flow around it. The experimental scenario is somewhat different to that
presently simulated. Here, two half-disks are located at the wall. In the numer-
ical and experimental scenarios, the ratios of the equivalent bubble to obstacle
diameter have the same magnitude order and equate d/(2R) = 0.37 and 0.15,
respectively. Figure 18 compares the numerical and experimental velocity vec-
tors, that have been digitized from the publication. Despite the differences

Title Suppressed Due to Excessive Length
21
1.8
240 x 150
208 x 130
1.6
176 x 110

144 x 90
- 2 1.4
112 x 70
c
)/V
(1.2
V c
1.0
0.8-0.5
-R/L
0
R/L
0.5
x/L
Fig. 17 Grid dependency test. Time-average velocity along the channel center line Vc(x)
with increasing mesh density.
Fig. 18 Foam velocity vectors (black) overlaid with those obtained experimentally (orange).
The foams are mono-disperse and dry in both the simulation and the reference experiment
(Dollet and Graner 2007). The ratio of the equivalent bubble to obstacle diameter equate
d/(2R) = 0.37 and 0.15, respectively. ε is the gas fraction.
between the two systems in terms of obstacle position, the magnitude and the
direction of the foam velocity qualitatively match. The discrepancies tend to
increase as one approaches the obstacle.
Acknowledgements S.H. acknowledges the financial support of the Deutsche Forschungs-
gemeinschaft (HE 7529/3-1).
Conflict of interest
The authors declare that they have no conflict of interest.
Supplementary data
Supplementary material showing the foam flowing in the obstructed channel
is available.

22
Thales Carl Lavoratti et al.
References
Acheson D (1990) Elementary Fluid Dynamics. Oxford University Press
Aihara S, Takaki T, Takada N (2019) Multi-phase-field modeling using a conservative
allen–cahn equation for multiphase flow. Comput Fluids 178:141–151, DOI 10.1016/
j.compfluid.2018.08.023, URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S0045793018305516
Alert R, Trepat X (2020) Physical models of collective cell migration. Annu Rev Con-
dens Matter Phys 11(1):77–101, DOI 10.1146/annurev-conmatphys-031218-013516,
URL https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031218-013516, https://doi.
org/10.1146/annurev-conmatphys-031218-013516
Andersson G, Carey E, Stubenrauch C (2010) Disjoining pressure study of formamide foam
films stabilized by surfactants. Langmuir 26(11):7752–7760, DOI 10.1021/la100586h,
URL https://doi.org/10.1021/la100586h, pMID: 20218554, https://doi.org/10.
1021/la100586h
Bai L, Breen D (2008) Calculating center of mass in an unbounded 2d environment. J Graph
Tools 13(4):53–60, DOI 10.1080/2151237X.2008.10129266
Balay S, Abhyankar S, Adams MF, Brown J, Brune P, Buschelman K, Dalcin L, Dener
A, Eijkhout V, Gropp WD, Karpeyev D, Kaushik D, Knepley MG, May DA, McInnes
LC, Mills RT, Munson T, Rupp K, Sanan P, Smith BF, Zampini S, Zhang H, Zhang
H (2019) PETSc Web page. https://www.mcs.anl.gov/petsc, URL https://www.mcs.
anl.gov/petsc
Benzi R, Sbragaglia M, Succi S, Bernaschi M, Chibbaro S (2009) Mesoscopic lattice
boltzmann modeling of soft-glassy systems: Theory and simulations. J Chem Phys
131(10):104903, DOI 10.1063/1.3216105
Blott SJ, Pye K (2008) Particle shape: a review and new methods of characterization
and classification. Sedimentology 55(1):31–63, DOI 10.1111/j.1365-3091.2007.00892.x,
URL https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1365-3091.2007.00892.
x, https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1111/j.1365-3091.2007.00892.x
Borcia R, Borcia I, Helbig M, Meier M, Egbers C, Bestehorn M (2017) Dancing drops over
vibrating substrates. Eur Phys J Spec Top 226:1297–1306
Boulogne F, Cox SJ (2011) Elastoplastic flow of a foam around an obstacle. Phys Rev
E 83:041404, DOI 10.1103/PhysRevE.83.041404, URL https://link.aps.org/doi/10.
1103/PhysRevE.83.041404
Brakke KA (1992) The surface evolver. Exp Math 1(2):141–165
Cantat I (2011) Gibbs elasticity effect in foam shear flows: a non quasi-static 2d numerical
simulation. Soft Matter 7:448–455, DOI 10.1039/C0SM00657B, URL http://dx.doi.
org/10.1039/C0SM00657B
Cantat I, H¨
ohler R, Flatman R, Cox S (2013) Foams: Structure and Dynamics. OUP Oxford,
URL https://books.google.com.br/books?id=Ndzzl1hUNRoC
Chen CH, Hallmark B, Davidson JF (2019) Highly viscous polymeric foam flowing through
an orifice. AIP Conference Proceedings 2139(1):150002
Cohen-Addad S, H¨
ohler R (2014) Rheology of foams and highly concentrated emulsions.
Curr Opin Colloid Interface Sci 19(6):536–548, DOI 10.1016/j.cocis.2014.11.003, URL
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1359029414001034
Cohen-Addad S, H¨
ohler R, Pitois O (2013) Flow in foams and flowing foams. Annu Rev
Fluid Mech 45(1):241–267, DOI 10.1146/annurev-fluid-011212-140634
Cox E (1927) A method of assigning numerical and percentage values to the degree of round-
ness of sand grains. J Paleontol 1(3):179–183, URL http://www.jstor.org/stable/
1298056
Cox S (2015) Simulations of bubble division in the flow of a foam past an obstacle in a nar-
row channel. Colloids Surf, A 473:104–108, DOI 10.1016/j.colsurfa.2014.10.038, URL
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0927775714008176, a Collec-
tion of Papers Presented at the 10th Eufoam Conference, Thessaloniki, Greece,7-10
July, 2014
Cox SJ, Dollet B, Graner F (2006) Foam flow around an obstacle: simulations of obsta-
cle–wall interaction. Rheol Acta 45(4):403–410, DOI 10.1007/s00397-005-0061-3

Title Suppressed Due to Excessive Length
23
Dennin M (2004) Statistics of bubble rearrangements in a slowly sheared two-dimensional
foam. Phys Rev E 70:041406, DOI 10.1103/PhysRevE.70.041406, URL https://link.
aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.70.041406
Deshpande N, Barigou M (2000) The flow of gas–liquid foams in vertical pipes. Chem
Eng Sci 55(19):4297–4309, DOI 10.1016/S0009-2509(00)00057-9, URL http://www.
sciencedirect.com/science/article/pii/S0009250900000579
Deshpande N, Barigou M (2001) Foam flow phenomena in sudden expansions and contrac-
tions. Int J Multiphase Flow 27(8):1463–1477, DOI 10.1016/S0301-9322(01)00017-9,
URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0301932201000179
Desmond KW, Young PJ, Chen D, Weeks ER (2013) Experimental study of forces between
quasi-two-dimensional emulsion droplets near jamming. Soft Matter 9:3424–3436, DOI
10.1039/C3SM27287G, URL http://dx.doi.org/10.1039/C3SM27287G
Divoux T, Fardin MA, Manneville S, Lerouge S (2016) Shear banding of complex flu-
ids. Annu Rev Fluid Mech 48(1):81–103, DOI 10.1146/annurev-fluid-122414-034416,
URL
https://doi.org/10.1146/annurev-fluid-122414-034416,
https://doi.org/
10.1146/annurev-fluid-122414-034416
Dollet B, Graner F (2007) Two-dimensional flow of foam around a circular obstacle: local
measurements of elasticity, plasticity and flow. J Fluid Mech 585:181–211, DOI 10.1017/
s0022112007006830
Dollet B, Scagliarini A, Sbragaglia M (2015) Two-dimensional plastic flow of foams and
emulsions in a channel: experiments and lattice boltzmann simulations. J Fluid Mech
766:556–589, DOI 10.1017/jfm.2015.28
Durian D (1995) Foam mechanics at the bubble scale. Phys Rev Lett 75:4780–4783, DOI 10.
1103/PhysRevLett.75.4780, URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.
75.4780
Durian DJ (1997) Bubble-scale model of foam mechanics: Melting, nonlinear behavior, and
avalanches. Phys Rev E 55:1739–1751, DOI 10.1103/PhysRevE.55.1739, URL https:
//link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.55.1739
Esmaeeli A, Tryggvason G (1996) An inverse energy cascade in two-dimensional low reynolds
number bubbly flows. J Fluid Mech 314:315–330, DOI 10.1017/S002211209600033X
Fang C (2019) An Introduction to Fluid Mechanics. Springer
Forel E, Langevin D, Rio E (2019) Measurement of film permeability in 2d foams. Eur Phys
J E 42, DOI 10.1140/epje/i2019-11834-7
Graner F, Dollet B, Raufaste C, Marmottant P (2008) Discrete rearranging disordered
patterns, part i: Robust statistical tools in two or three dimensions. Eur Phys J E
25(4):349–369, DOI 10.1140/epje/i2007-10298-8
Greenshields C (2020) Openfoam user guide: Transport/rheology models. https://cfd.
direct/openfoam/user-guide/v8-transport-rheology,
URL
https://cfd.direct/
openfoam/user-guide/v8-transport-rheology
Heitkam S, Fr¨
ohlich J (2019) Phase-resolving simulation of dense bubble clusters un-
der periodic shear. Acta Mech 230(2):645–656, DOI 10.1007/s00707-018-2270-8, URL
https://doi.org/10.1007/s00707-018-2270-8
Heitkam S, Rudolph M, Lappan T, Sarma M, Eckert S, Trtik P, Lehmann E, Von-
tobel P, Eckert K (2018) Neutron imaging of froth structure and particle mo-
tion. Miner Eng 119:126–129, DOI 10.1016/j.mineng.2018.01.021, URL http://www.
sciencedirect.com/science/article/pii/S0892687518300323
Herzhaft B, Kakadjian S, Moan M (2005) Measurement and modeling of the flow behavior of
aqueous foams using a recirculating pipe rheometer. Colloids Surf, A 263(1-3):153–164,
DOI 10.1016/j.colsurfa.2005.01.012
Hussain T, Wahab A (2018) A critical review of the current water conservation practices in
textile wet processing. J Cleaner Prod 198:806–819, DOI 10.1016/j.jclepro.2018.07.051,
URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0959652618320183
Indrawati L, Wang Z, Narsimhan G, Gonzalez J (2008) Effect of processing parameters on
foam formation using a continuous system with a mechanical whipper. J Food Eng
88(1):65–74, DOI 10.1016/j.jfoodeng.2008.01.015, URL http://www.sciencedirect.
com/science/article/pii/S0260877408000472
Jeong D, Kim J (2017) Conservative allen–cahn–navier–stokes system for incompressible
two-phase fluid flows. Comput Fluids 156:239–246, DOI 10.1016/j.compfluid.2017.07.

24
Thales Carl Lavoratti et al.
009, URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045793017302475,
ninth International Conference on Computational Fluid Dynamics (ICCFD9)
Jing Z, Wang S, Lv M, Wang Z, Luo X (2015) Flow behavior of two-dimensional wet foam:
effect of foam quality. J Fluids Eng 137(4), DOI 10.1115/1.4028892, 041206
Jones SA, Dollet B, M´
eheust Y, Cox SJ, Cantat I (2013) Structure-dependent mobility of a
dry aqueous foam flowing along two parallel channels. Phys Fluids 25(6):063101, DOI
10.1063/1.4811178, URL https://doi.org/10.1063/1.4811178, https://doi.org/10.
1063/1.4811178
Joshi V, Jaiman RK (2018) A positivity preserving and conservative variational scheme
for phase-field modeling of two-phase flows. J Comput Phys 360:137–166, DOI 10.
1016/j.jcp.2018.01.028, URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S002199911830038X
Katgert G, van Hecke M (2010) Jamming and geometry of two-dimensional foams. Europhys
Lett 92(3):34002, DOI 10.1209/0295-5075/92/34002, URL https://doi.org/10.1209%
2F0295-5075%2F92%2F34002
Kern N, Weaire D, Martin A, Hutzler S, Cox SJ (2004) Two-dimensional viscous froth
model for foam dynamics. Phys Rev E 70:041411, DOI 10.1103/PhysRevE.70.041411,
URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.70.041411
Kim J (2005) A continuous surface tension force formulation for diffuse-interface mod-
els. J Comput Phys 204(2):784–804, DOI 10.1016/j.jcp.2004.10.032, URL http://www.
sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999104004383
Kim J (2007) Phase field computations for ternary fluid flows. Comput Methods Appl Mech
Eng 196(45):4779–4788
Kim J (2012) Phase-field models for multi-component fluid flows. Comm Comput Phys
12(3):613–661, DOI 10.4208/cicp.301110.040811a
Koniorczyk P, Trzyna M, Zmywaczyk J, Zygmunt B, Preiskorn M (2017) Study of
polyurethane foaming dynamics using a heat flow meter. Int J Thermophys 38(5):71,
DOI 10.1007/s10765-017-2209-7, URL https://doi.org/10.1007/s10765-017-2209-7

ah¨
ar¨
a T (2017) Numerical study of two-dimensional wet foam over a range of shear rates.
Phys Rev Fluids 093303(August 2016):1–9, DOI 10.1103/PhysRevFluids.2.093303
Langevin D (2017) Aqueous foams and foam films stabilised by surfactants. gravity-free
studies. C R Mecanique 345(1):47–55, DOI 10.1016/j.crme.2016.10.009, URL http://
www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1631072116301061, basic and applied
researches in microgravity – A tribute to Bernard Zappoli’s contribution
Lappan T, Franz A, Schwab H, K¨
uhn U, Eckert S, Eckert K, Heitkam S (2020) X-ray
particle tracking velocimetry in liquid foam flow. Soft Matter 16:2093–2103, DOI 10.
1039/C9SM02140J, URL http://dx.doi.org/10.1039/C9SM02140J
Lecrivain G (2020) Dynamics of mono- and poly-disperse two-dimensional foams flowing in
an obstructed channel. https://rodare.hzdr.de/deposit/739, 10.14278/rodare.739
Lecrivain G, Petrucci G, Rudolph M, Hampel U, Yamamoto R (2015) Attachment of solid
elongated particles on the surface of a stationary gas bubble. Int J Multiphase Flow
71:83–93, DOI https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2015.01.002, URL https://
www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0301932215000105
Lecrivain G, Kotani Y, Yamamoto R, Hampel U, Taniguchi T (2018) Diffuse interface model
to simulate the rise of a fluid droplet across a cloud of particles. Phys Rev Fluids
3:094002, DOI 10.1103/PhysRevFluids.3.094002, URL https://link.aps.org/doi/10.
1103/PhysRevFluids.3.094002
Lecrivain G, Grein TBP, Yamamoto R, Hampel U, Taniguchi T (2020) Eulerian/lagrangian
formulation for the elasto-capillary deformation of a flexible fibre. J Comput Phys
409:109324, DOI 10.1016/j.jcp.2020.109324, URL http://www.sciencedirect.com/
science/article/pii/S002199912030098X
Luo X, Maxey MR, Karniadakis GE (2009) Smoothed profile method for particulate
flows: Error analysis and simulations. J Comput Phys 228(5):1750–1769, DOI 10.
1016/j.jcp.2008.11.006, URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S0021999108005925
Marmottant P, Raufaste C, Graner F (2008) Discrete rearranging disordered patterns, part
II: 2d plasticity, elasticity and flow of a foam. Eur Phys J E 25(4):371–384, DOI 10.
1140/epje/i2007-10300-7

Title Suppressed Due to Excessive Length
25
Masi G, Rickard WD, Vickers L, Bignozzi MC, van Riessen A (2014) A comparison be-
tween different foaming methods for the synthesis of light weight geopolymers. Ce-
ram Int 40(9, Part A):13891–13902, DOI 10.1016/j.ceramint.2014.05.108, URL http:
//www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0272884214008311
Mittal
R,
Laccarino
G
(2005)
Immersed
boundary
methods.
Annu
Rev
Fluid
Mech 37(1):239–261, DOI 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743, URL https://doi.
org/10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743, https://doi.org/10.1146/annurev.
fluid.37.061903.175743
Mueller R, Yeomans JM, Doostmohammadi A (2019) Emergence of active nematic behavior
in monolayers of isotropic cells. Phys Rev Lett 122:048004, DOI 10.1103/PhysRevLett.
122.048004, URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.122.048004
Nauber R, B¨
uttner L, Eckert K, Fr¨
ohlich J, Czarske J, Heitkam S (2018) Ultrasonic measure-
ments of the bulk flow field in foams. Phys Rev E 97:013113, DOI 10.1103/PhysRevE.
97.013113, URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.97.013113
Nestler B, Wendler F, Selzer M, Stinner B, Garcke H (2008) Phase-field model for
multiphase systems with preserved volume fractions. Phys Rev E 78(1):1–7, DOI
10.1103/PhysRevE.78.011604
Nonomura M (2012) Study on multicellular systems using a phase field model. PLoS One
7:1–9
Peng M, Duignan TT, Nguyen AV (2020) Significant effect of surfactant adsorption layer
thickness in equilibrium foam films. J Phys Chem B 124(25):5301–5310, DOI 10.1021/
acs.jpcb.0c02883
Raufaste C, Dollet B, Cox S, Jiang Y, Graner F (2007) Yield drag in a two-dimensional foam
flow around a circular obstacle: Effect of liquid fraction. Eur Phys J E 23(2):217–228
Rooki R, Ardejani FD, Moradzadeh A, Norouzi M (2015) Cfd simulation of rheological model
effect on cuttings transport. J Dispersion Sci Technol 36(3):402–410, DOI 10.1080/
01932691.2014.896219, URL https://doi.org/10.1080/01932691.2014.896219, https:
//doi.org/10.1080/01932691.2014.896219
Schwarz S, Kempe T, Fr¨
ohlich J (2015) A temporal discretization scheme to compute the
motion of light particles in viscous flows by an immersed boundary method. J Comput
Phys 281:591–613, DOI 10.1016/j.jcp.2014.10.039, URL http://www.sciencedirect.
com/science/article/pii/S0021999114007219
Sexton MB, M¨
obius ME, Hutzler S (2011) Bubble dynamics and rheology in sheared two-
dimensional foams. Soft Matter 7:11252–11258, DOI 10.1039/C1SM06445B, URL http:
//dx.doi.org/10.1039/C1SM06445B
Shinto
H
(2012)
Computer
simulation
of
wetting,
capillary
forces,
and
particle-
stabilized emulsions: From molecular-scale to mesoscale modeling. Adv Powder Technol
23(5):538–547, DOI 10.1016/j.apt.2012.06.003, URL http://www.sciencedirect.com/
science/article/pii/S0921883112000763
Stevenson P, Sederman AJ, Mantle MD, Li X, Gladden LF (2010) Measurement of bub-
ble size distribution in a gas–liquid foam using pulsed-field gradient nuclear magnetic
resonance. J Colloid Interface Sci 352(1):114–120, DOI 10.1016/j.jcis.2010.08.018, URL
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021979710009136
Stubenrauch C, von Klitzing R (2003) Disjoining pressure in thin liquid foam and emulsion
films—new concepts and perspectives. J Phys: Condens Matter 15(27):R1197–R1232,
DOI 10.1088/0953-8984/15/27/201, URL https://doi.org/10.1088/0953-8984/15/
27/201
Uhlmann M (2008) Interface-resolved direct numerical simulation of vertical particulate
channel flow in the turbulent regime. Phys Fluids 20(5):053305, DOI 10.1063/1.2912459,
URL https://doi.org/10.1063/1.2912459, https://doi.org/10.1063/1.2912459
van der Net A, Gryson A, Ranft M, Elias F, Stubenrauch C, Drenckhan W (2009) Highly
structured porous solids from liquid foam templates. Colloids Surf, A 346(1):5–10,
DOI 10.1016/j.colsurfa.2009.05.010, URL http://www.sciencedirect.com/science/
article/pii/S0927775709002908
Waters K, Rowson N, Fan X, Parker D, Cilliers J (2008) Positron emission particle tracking
as a method to map the movement of particles in the pulp and froth phases. Miner Eng
21(12):877–882, DOI 10.1016/j.mineng.2008.02.007, URL http://www.sciencedirect.
com/science/article/pii/S0892687508000320

26
Thales Carl Lavoratti et al.
Weller H, Tabor G, Jasak H, Fureby C (1998) A tensorial approach to computational con-
tinuum mechanics using object-oriented techniques. Comput Phys 12(6):620–631, DOI
10.1063/1.168744